牡丹江师范学院，数学科学学院蕾丝 百合 调教，黑龙江 牡丹江
收稿日历：2022年9月14日；请托日历：2022年10月17日；发布日历：2022年10月25日
选录
三角形面积，既有代数意旨，又有几何意旨，从数与形的角度，不错很好的主持数学念念维。本文字据不同庚纪学生的露出水暖和不同庚级的推行教学情况，从培养学生数学念念维的角度，分析并盘问三角形面积的求解方法，长远接洽三角形面积在不同学段的教学要点与求解方法的发展进程。小学阶段主要以培养计较智商为主，用基本公式求解三角形面积；中学阶段缓缓量化，领会几何成为学习要点，常与其它学问汇聚会求解三角形面积；大学阶段的数学是高维度的数学，从定积分与空间领会几何角度求解三角形面积。在接洽中得到三角形面积的学习进程，稳当学生发展需要，对学生的逻辑念念维、抽象念念维、创新念念维等数学念念维起到促进作用，在责罚推行问题、学生改日从业等方面具有进军意旨。
要津词
三角形面积，数学念念维，领会几何，学生特色
The Development of Mathematical Thinking from the Area of Triangles
Xin Zhang， Haiming Liu*， Mengying Dong
School of Mathematical Sciences， Mudanjiang Normal University， Mudanjiang Heilongjiang
Received: Sep. 14th， 2022; accepted: Oct. 17th， 2022; published: Oct. 25th， 2022
ABSTRACT
The area of triangle， which has both algebraic and geometric meanings， can be well grasped from the perspective of number and shape for mathematical thinking. In this paper， according to the cognitive level of students of different ages and the actual teaching situation of different grades， we analyze and discuss the solution methods of triangle area from the perspective of cultivating students’ mathematical thinking， and study in depth the development process of teaching focus and solution methods of triangle area in different grades. At the elementary school level， the main focus is on cultivating computational ability and using basic formulas to solve triangle area; at the secondary school level， the analytic geometry becomes the focus of learning gradually and is often combined with other knowledge to solve triangle area; at the university level， the mathematics is a high-dimensional mathematics and triangle area is solved from the perspective of definite integral and spatial analytic geometry. The learning process of getting triangle area in the study， adapting to the development needs of students， plays a role in promoting students’ logical thinking， abstract thinking， innovative thinking and other mathematical thinking， and is of great significance in solving practical problems and students’ future practice.
Keywords:Triangle Area， Mathematical Thinking， Analytic Geometry， Student Characteristics
Copyright © 2022 by author(s) and Hans Publishers Inc.
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1. 序论
纯数学是抽象的科学，对数学学习者来说，除了掌持学问，数学念念想是必须具备的念念维特征，它是数学产生和发展进程中必须依赖的念念想 [1]。教学中，学生数学念念维的变成离不开数学学问的累积，但取得学问并不代表变成念念维。很大批学学问王人有“数”和“形”两个特征 [2]，数形聚会念念想耐久是课程圭臬强调的念念维方式，闻明数学家华罗庚曾说：“数以形而直不雅，形以数而入微。”因此，要想知晓数学学问的本体，培养学生的数学念念维，需要从数与形两个角度知晓主持。
为什么要接洽三角形面积，因为求三角形面积的进程把“数形聚会”念念想发扬的长篇大论。三角形属于几何内容，它的接洽旅途是从图形本人登程，由定性到定量，在培养学生的数学念念想与创造性念念维上具有典型性与示范性，在中学数学中尽头进军。同期，利用面积法解题是中高考的要点内容，三角形面积是最常用的妙技之一，时时与动点问题、函数问题等非几何问题相斟酌。
本文以三角形面积为主要接洽对象，探讨它在不同学段的不同求法，感受归并学问在援助教学上的“演变”进程，数形聚会，层层递进，在几何与代数的互相转动中，培养学生的数学念念维，发展学生的直不雅联想、逻辑推理等数学中枢修养。
2. 不同学段的三角形面积
对于三角形面积，第一次文件记录是在公元5世纪，古印度闻明数学家阿耶波多在他的《阿里亚哈塔历书》中给出了三角形求面积的公式，即三角形面积等于二分之一倍的底乘高。中国南宋闻明数学家秦九韶也创用了“三斜求积术”，给出了已知三角形的三边求三角形面积的公式，也即古希腊的海伦公式。各期间的数学家们在三角形面积上作念出的孝顺，对现代数学发展产生进军影响。
现代数学援助的学习，不再是被迫的接纳学问，而是在原有学问训导的基础上同化并重新构建学问。概况来说，学生在学习数学学问时，总要以配景学问为基础进行斟酌。对于“求解三角形面积”，小学到大学均有涉猎，学生从知晓三角形开端学习，聚会糊口训导，抽象出三角形面积公式，再与函数、向量等非几何问题汇聚会，将几何问题转动为代数问题，用代数学方法计较讲明注解，量化数学，知晓数学。
2.1. 小学阶段
小学数学援助属于发蒙援助，小学生具有建构性的数学学问性质不雅，并随年级升高而发生变化，但从合座上看仍然比较朴素，具有一定的直不雅性和概况性 [3]，数学学问的逻辑方法和学生的知晓方法制约着他们的学习进程。小学期间儿童的念念维特色是从具体形象念念维登程，渐渐过渡到抽象念念维 [4]，然而这种抽象念念维很大程度上仍与理性训导相斟酌，仍具有很大的具体形象性，因此从几何角度责罚数学问题是小学援助的进军妙技。直不雅感受比逻辑愈加真实 [2]，更能让学生知晓经受数学中抽象的认识、定理、公式，推动对数学本体的知晓，变成数学念念维，取得更好的数学学习成果。
《义务援助数学课程圭臬(2022)》强调，图形与几何是义务援助阶段最进军的学习内容之一，它在小学阶段主要包括图形的“知晓与测量”、“位置与畅通”两个主题。在图形的知晓与测量上，要修业生能掌持一些常见图形的周长、面积和体积的计较，能在推导计较方法的进程中，感悟数学度量方法，缓缓变成量感和推理刚毅 [5]。小学生学习几何学问往往从知晓图形开端，利用图形态状分析数学问题，进而责罚数学问题。同期，小学阶段的数学教学喜爱加强计较智商，数学题也以“套公式计较”为主，对于“三角形面积”，主要学习“三角形面积的基本公式”。
以五年级上册东说念主教版数学讲义的教学筹划为例，学生在学习三角形面积之前，一经掌持了基本运算方法，知晓了底和高的认识，知说念了平行四边形面积的求法与公式。在教学中，从糊口登程，以学生的红围巾为例，红围巾是平行四边形，将其对折后的图形是三角形，平行四边形的面积公式已知，对应三角形的面积为该平行四边形面积的一半，那么求三角形面积的公式也容易知晓了。即在三角形ABC中，AH为三角形ABC的高，垂足落在BC边上，则有三角形面积的基本公式为
S 三 角 形 A B C = 1 2 × B C × A H (1)
在数学学习进程中，通过数形聚会的妙技，强化念念维深度，借助一定的数学场景，指令学生开端践诺，用“数学”的方式知晓三角形面积计较公式的含义，在分析问题、责罚问题的进程中培养数学念念维 [6]。
2.2. 初中阶段
初中生正处在芳华期的开动阶段，跟着神经系统的发育，嗅觉器官渐渐完善，学生的感知与露出智商得到了一定的发展。在这期间，学生的生理与花样王人会发生很大的变化。从小学升到初中，新环境、新同学、新真诚、新学科等外皮要素王人会让学生感到深嗜，处于一种昂扬气象 [7]。同期初中的教学方法与小学比拟有许多不同，学问点容量变大，难度有所擢升，教学程度加速等等。关联词大部分初中生还莫得从小学的学习气象中休养过来，学习方法单一，主动性不彊 [7]，学问点斟酌不紧密，势必得不到很好的学习成果，更无须提发展学生的数学念念维了。初中阶段的学习进程中，每一个格式王人势必存在着由形象念念维向抽象念念维的转动，但学生在知晓事物上的抽象性和抽象性仍然不及，还需要依靠直不雅知晓主持。
“图形与几何”仍然是初中阶段的教学要点，经过小学的学习，学生变成了初步的空间不雅念与几何直不雅。《义务援助数学课程圭臬(2022)》强调，“图形与几何”关注的主题变为图形的性质、变化和坐标，从演绎讲明注解、畅通变化、量化分析三个角度接洽图形的互干系系和基人道质，学生在原有空间不雅念的基础上进一步确立几何直不雅，擢升抽象智商和推明智商 [5]。
对于三角形，初中期间的学习要点落在了接洽边和角的关系上，比如全等三角形与相似三角形的判定定理，这种露出属于相对朦拢的定性露出，并莫得终了彻底量化。同期，数学教学不再单纯接洽某一具体图形，而是一些更为复杂和抽象的问题，包括图形的转动，与函数汇聚会等。不同学问点的诱骗通说念是“平面直角坐标系”。“平面直角坐标系”是1637年法国数学家笛卡尔发明的，他的中枢念念想是把几何问题转动为代数问题，用代数学的方法计较与讲明注解。由此可见，数学教学开端渐渐量化。
对于求解三角形面积，初中常用的公式仍为概况的基本公式，但求面积所需的条目不再径直给出，需要学生我方利用所学学问寻找，有很强的期间性。举例，动点问题中，将三角形面积与变量汇聚会得到函数关系式，求得问题甩掉；再比如哄骗化归与转动念念想接洽四边形，通过添加辅助线，把四边形问题转动为三角形问题等 [8]。中考题中波及面积的题目往往具有很强的综合性，也时时与动点问题、最值问题、三角函数等聚会试验，学问点的抽象性渐渐加深，与此同期，利用三角形面积也不错责罚许多非面积的问题，亦然中考的要点学问。在解题教学中，教师要能从多元角度分析问题，巧用模式变换，用各样的方式来指令问题的责罚，潜移暗化的对学生的数学念念维产生影响，同期，饱读舞学生我方对所学内容息争题念念路归纳考究，激励念念维纯真性，培养学生的逻辑念念维 [9]。
例1：如图1，三角形AOB中， A ， B 两点的坐标辨认为 ( 2 ， 4 ) ， ( 6 ， 2 ) ，求三角形AOB的面积。
图1. 直角坐标系中的三角形AOB
图2. 对图1加多辅助线变成矩形
分析：此类题等于经典的化归与转动的问题，无法径直套公式计较，常用平面几何的方法来责罚，即三角形AOB的面积不错看作一个长方形面积减去一些小三角形的面积。
解：如图2，构造长方形， C ， D ， E 三点的坐标辨认为 ( 0 ， 4 ) ， ( 6 ， 4 ) ， ( 6 ， 0 ) 。长方形OCDE的面积
S 长 方 形 O C D E = O C × O E = 4 × 6 = 24 。三角形AOC的面积 S 三 角 形 A O C = 1 2 × O C × A C = 1 2 × 4 × 2 = 4 。三角形ADB的面积 S 三 角 形 A D B = 1 2 × A D × D B = 1 2 × 4 × 2 = 4 。三角形BOE的面积 S 三 角 形 B O E = 1 2 × O E × B E = 6 。故有三角
形AOB的面积为
S Δ A O B = S 长 方 形 O C D E − S Δ A O C − S Δ A D B − S Δ B O E = 10 。
2.3. 高中阶段
高中阶段，学生处于生理与花样发育趋于熟习的期间 [10]，但从数学念念想与数学念念维上看，仍然保留着一定的形象性，由形象念念维向抽象念念维过渡也仍然是高中的主要教学任务之一，推行的教学方法要得当高中学生的露出方式与年纪特色，从具体到抽象，从很是到一般 [10]。学习是一个一语气的进程，高中数学的学习是在小学、初中的基础上进一步进行的。与初中比拟，高中数学学问的容量、难度、逻辑性、抽象性等特色愈加特出，与此同期，高中学习时分有限、氛围病笃、升学压力大，这王人是不行幸免的外皮要素。但令东说念主闲适的是，大部分高中生王人能明确知晓到自身的学习任务，对我方建议高要求，学习动机较为稳当，自我监控刚毅也达到了较高水平 [11]，这对于教学鼓吹、培养学生数学念念维与中枢修养是尽头有意的。
“几何与代数”是高中数学的课程干线之一。《肤浅高中数学课程圭臬(2017)》强调，“在必修课程与聘请性必修课程中，要特出几何直不雅与代数运算之间的交融，即通过形与数的聚会，感悟数学学问之间的关联，加强对数学合座性的知晓” [12]。高中期间，学生对于三角形的学习，从初中相对朦拢的定性学习，渐渐走向“精准”定量学习，比如已知三条边不错细则三个角，这是一种量化的进程。干系于三角形面积，它属于领会几何部安分容。高中的领会几何不错概况知晓为用代数方法接洽平面几何，终了代数与几何的互相交流，中枢仍为数形聚会念念想 [13]。从高中生的学问配景上看，小学和初中干系领会几何的学问星星点点，它就像一门新学科贯串于整个高中数学，在三角形面积上有所体现。利用“面积法”责罚问题、三角形面积的最值问题等王人是高考的热门题型。同期，比起小学初中，三角形面积的求解方法多种各样，举例正弦定理、海伦公式、距离公式等，在画有圆锥弧线的坐标系上看到三角形亦然再平凡不外的事。像是这种“一题多解”，学生在细则解题念念路时，要用到分析、综合、演绎、归纳等念念维方法，解题智商与数学念念维密不行分，通过提高计较速率、举一反三、创新解法等学习妙技不错培养学生的数学念念维，同期学生看待问题的全面性与批判性亦然影响数学念念维的要津要素 [14]。对高中生而言，学问的增厚与方法的多变，王人是发展数学抽象念念维、逻辑念念维、创新性念念维的最强有劲的妙技。
底下仍以例1为例，用高中学习的两种方法求解三角形面积。
方法一：利用点到直线距离公式、两点之间距离公式进行求解。
解：如图3所示，过点A作念高线，垂足为点G， A G ⊥ O B 。已知点 B ( 6 ， 2 ) ，直线OB的方程为
y − 0 2 − 0 = x − 0 6 − 0 ，即 y = 1 3 x ，再利用两点之间距离公式得到，线段OB的长度 l O B = ( 6 − 0 ) 2 + ( 2 − 0 ) 2 = 2 10 ；由点到直线距离公式得到点A到OB的距离，即线段AG的长度为 l A G = 10 。则有三角形AOB的面积为 S 三 角 形 A O B = 1 2 × l O B × l A G = 10 ，求解已矣。
方法二：利用正余弦定理推导出的三角形面积公式求解。
解：由方法一知，线段AG的长度为 l A G = 10 ，由勾股定理可知 O A ， O B 的长度辨认为 l O A = 2 5 ，
l O B = 2 10 ，得到 sin ∠ A O B = l A G l O A = 10 2 5 = 2 2 ，故 ∠ A O B = 45 ˚ ，是以三角形AOB的面积为
S 三 角 形 A O B = 1 2 × l O A × l O B × sin ∠ A O B = 10 。
图3. 对图1加多辅助线AG
2.4. 大学阶段
现代大学生恰好后生，这是东说念主生的过渡期，亦然真实终了“花样性断乳”的东说念主格再构期，他们的个性花样愈加灵通，渐渐颓丧，开端珍重社会 [15]。大学与小初高不同，小初高以数学为主科，是每位学生王人必须学习并学好的内容。而大学有不同的专科，对应着不同的服务发展标的，绝大大批理工科专科王人要以大学数学为基础 [16]。相同高等数学课也一经成为本科生必要的基础课程，学习大学数学并不单是为了掌持学问，在探讨数学的进程中所取得的念念想方法才是重中之重，它对于培养学生逻辑念念维智商、创造性念念想以及改日从业、责罚现实问题等，王人具有推行意旨。因此，数学教学不单是是学问的传授，还要让学生的智商、修养等方面王人得到一定的擢升 [16]。
对于三角形面积，大学阶段常用的求解方法主要有两种：一个是用向量外积求解三角形面积，这种方法冲突二维空间的禁止，到更高维的空间中探讨几何问题，探讨三角形面积问题；同期，微积分念念想模仿了古希腊的安提丰和欧多克斯所建议的内接多边形接近圆的念念想，用无尽靠拢的方法求弧线包围的面积和体积 [17]，因此，利用定积分的几何意旨，求解函数图像上对应的三角形面积是第二个方法。虽然，大学数学愈加抽象，教学也要尽量聚会现实原型与推行配景，发展学生的联想力和更高头绪的念念维智商。
底下仍以例1为例，求解三角形面积。
方法一：用向量外积求解三角形ABO的面积。
解：在平面直角坐标系上，已知 A ， B ， O 三点的坐标辨认为 ( 2 ， 4 ) ， ( 6 ， 2 ) ， ( 0 ， 0 ) ，且 ∠ A O B = 45 ∘ ，则向量 O A = ( 2 ， 4 ) ，向量 O B = ( 6 ， 2 ) ，则三角形ABO的面积
S 三 角 形 A B O = 1 2 | O A × O B | = 1 2 | O A | × | O B | × sin ∠ A O B = 1 2 × 2 5 × 2 10 × 2 2 = 10 ，其中 | O A | ， | O B | 为向量模长；或 S 三 角 形 A B O = 1 2 | O A × O B | = 1 2 × | | 2 6 4 2 | | = 1 2 × | − 20 | = 10 。
方法二：用定积分求解三角形ABO的面积。
解：如图4所示，过A点作一条垂直于x轴的直线，与OB交于点P，已知 A ， B ， O 三点的坐标辨认
为 ( 2 ， 4 ) ， ( 6 ， 2 ) ， ( 0 ， 0 ) ，直线OB的方程为 y O B = 1 3 x ，则有直线OA的方程为 y O A − 0 4 − 0 = x − 0 2 − 0 ，即 y O A = 2 x ，直线AB的方程为 y A B − 4 2 − 4 = x − 2 6 − 2 ，即 y A B = − 1 2 x + 5 ，故三角形ABO的面积为
图4. 对图1加多辅助线AP
S 三 角 形 A B O = S 三 角 形 A O P + S 三 角 形 A B P = ∫ 0 2 ( y O A − y O B ) d x + ∫ 2 6 ( y A B − y O B ) d x = ∫ 0 2 ( 2 x − 1 3 x ) d x + ∫ 2 6 ( ( − 1 2 x + 5 ) − 1 3 x ) d x = ∫ 0 2 ( 5 3 x ) d x + ∫ 2 6 ( − 5 6 x + 5 ) d x = ( 5 6 x 2 ) | 0 2 + ( − 5 12 x 2 + 5 x ) | 2 6 = 10 3 + 20 3 = 10
在大学阶段培养学生的数学念念维，需要类比、归纳、转动等的数学方法。在上述例题中不错看到，解题的进程是代数与几何互相交流的进程，它比中学阶段的交流愈加高档，从空间角度、微不雅角度看基础问题，对发展学生的数学念念维具有进军意旨。
3. 论断
3.1. 求三角形面积的方法的演变
按照不同学段，给出部分“求解三角形面积”的方法 [18]，如下表1所示。
表1. 三角形面积求解方法
对于求三角形面积，小学期间学生的露出水平比较薄弱，它的教学要点也仅以计较为主，因此小学阶段主要学习三角形面积的基本公式，从几何到代数，数学开详察化；中学阶段，开端接洽三角形的边和角的关系，这倾向于朦拢定性，但在学习了平面直角坐标系和圆的干系性质后，通过逻辑推理得到不同角度的三角形面积求法，将几何与代数紧密衔接，数学进一步终了量化；大学阶段的三角形面积，一方面聚会空间领会几何，是小初高几何内容的进一步深化，另一方面与定积分相斟酌，强调学问点的代数意旨与几何意旨，终显著图形与数的互相转动，体现数学的抽象性。
好的教学方法一定会除名学生的露登程展端正，归并个数学学问，不同学段会有不同的发扬风景。三角形面积求法，从小学到大学王人有涉猎，每个学段对应着不同的方法，使用的数学器用与数学讲话也愈加高档。这种教学安排，一方面与学生的露登程展水平干系，另一方面也体现了数学学问的合座性和系统性，体现了不同学段的数学学问之间并不是散播的，而是紧密衔接的。这种从朦拢定性到详尽则量的进程，在培养学生的数学念念维方面，具有进军意旨。
3.2. 从三角形面积看数学念念维
华罗庚素质曾说：“学习是一个由薄到厚，再由厚到薄的进程。”通过对三角形面积解法的累积，数学学习由“薄”到“厚”，将不同学问与三角形面积相诱骗，学问又从“厚”到“薄”，使学生确立学问收罗，这是一个系统的进程。完善的数学学问训导依靠系统化的学习，是培养学生的创新念念想与应用刚毅、使学生的花样和行径发生持久性的变化的有用妙技。数学的教学要点从短期来看虽为解题与应考，但从永恒来看如故念念考问题与责罚问题，何如培养学生的数学念念维是数学教学的主要任务之一。
小学阶段是培养学生数学念念维的开动阶段，从知晓三角形登程，学习它的周长与面积公式，学会用公式计较几何性情，这是学问量化的开端，亦然学生抽象念念维的开端。中学阶段开端战争领会几何，将三角形面积与坐标系、函数、圆等数学内容相斟酌，学会哄骗转动与化归念念想责罚面积问题，这是几何的进一步量化，在这个进程中，学生的逻辑念念维智商得到擢升，能知晓抽象的数学意旨，对于归并个学问点的不同解法，也有意于学生创造性念念维的培养。大学期间，学生从空间领会几何角度、从积分与代数角度学习三角形面积，高维度的数学学问进一步培养学生的数学念念维，知晓数学抽象。
总之，三角形面积的学习进程，是数学发展历程的缩影，从相对朦拢的定性接洽到渐渐精准的定量接洽，使用的数学器用与数学讲话愈加高档，对锻真金不怕火学生的数学念念维有着进军作用。见微知类，对数学合座而言，归并学问贯串于不同学段，使学生构建起完好的学问体系，聚会学生的露出水暖和知晓智商，缓缓培养学生的数学念念维，具备致密的数学修养，对责罚推行问题，改日从业等方面具有进军意旨。
4. 基金技俩
黑龙江省教学立异一般技俩(SJGY20210906)，中央财政复故乡方优秀后生东说念主才技俩(ZYQN2019071)，黑龙江省大学生创新技俩(S202210233058)。
著述援用
张 昕，刘海明，董梦莹. 从三角形面积看数学念念维的培养The Development of Mathematical Thinking from the Area of Triangles[J]. 创新援助接洽， 2022， 10(10): 2535-2543. https://doi.org/10.12677/CES.2022.1010399
参考文件蕾丝 百合 调教